Calculadora Alicia de m.c.m. y m.c.d.

Escribe dos, tres o cuatro números y pulsa «Resolver». La calculadora Alicia de m.c.m. y m.c.d. descompone cada número en factores primos, con la tabla de divisiones del cuaderno, y calcula a la vez el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, explicando qué factores se eligen y por qué. Si quieres, comprueba también el m.c.d. con el algoritmo de Euclides.

Calcula

El m.c.m. y el m.c.d. a la vez

Números

De 2 a 4 números enteros positivos

Método

Descomposición en factores primos, con la tabla

Comprobación

Algoritmo de Euclides para dos números

Tamaño

Números de hasta 10 cifras

Precio

Gratis, sin registro y sin descargar nada

Cómo calcular el m.c.m. y el m.c.d. con la calculadora Alicia

1. Escribe el primer número, por ejemplo 12, y el segundo, por ejemplo 18.
2. Si necesitas más, pulsa + Añadir otro número: puedes llegar a cuatro.
3. Si son dos números y quieres comprobar el m.c.d. de otra forma, marca la casilla del algoritmo de Euclides.
4. Pulsa Resolver. Verás la tabla de factores primos de cada número, la elección de factores y los dos resultados.
5. Con Siguiente avanzas paso a paso, como si lo hicieras en el cuaderno.

Para 12 y 18, la calculadora da m.c.d. = 6 y m.c.m. = 36. Ver este ejemplo en la calculadora

Qué es un múltiplo y qué es un divisor

Antes de calcular, conviene tener claras estas dos palabras, porque el m.c.m. y el m.c.d. se construyen con ellas:

• Los múltiplos de un número son los que salen al multiplicarlo por 1, 2, 3, 4… Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20, 24… Son infinitos: es la tabla de multiplicar del 4, sin fin.
• Los divisores de un número son los que lo dividen exactamente, con resto 0. Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Son pocos, y el mayor es el propio número.

Una forma de recordarlo: si 12 es múltiplo de 4, entonces 4 es divisor de 12. Es la misma relación vista desde los dos lados.

Qué es el mínimo común múltiplo (m.c.m.)

El m.c.m. de varios números es el menor de los múltiplos que tienen en común, sin contar el 0. Para verlo con listas, con 4 y 6:

• Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…
• Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30…

Los comunes son 12, 24, 36… y el más pequeño es el 12. Así que m.c.m.(4, 6) = 12. Ver este ejemplo en la calculadora

El m.c.m. siempre es mayor o igual que el mayor de los números. Si te sale más pequeño, algo ha fallado.

Qué es el máximo común divisor (m.c.d.)

El m.c.d. de varios números es el mayor de los divisores que tienen en común. Con 12 y 18:

• Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Los comunes son 1, 2, 3 y 6, y el mayor es el 6. Así que m.c.d.(12, 18) = 6. Ver este ejemplo en la calculadora

El m.c.d. siempre es menor o igual que el menor de los números. Por eso se dice que el m.c.m. es «grande» y el m.c.d. «pequeño», aunque sus nombres digan lo contrario: mínimo de los múltiplos, que son grandes, y máximo de los divisores, que son pequeños.

Los números primos, los ladrillos de todos los números

Un número primo es el que solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. Los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… El 1 no es primo, porque solo tiene un divisor, y el 2 es el único primo par. Los números que no son primos se llaman compuestos, y todos se pueden escribir como una multiplicación de primos de una única manera, sin contar el orden: es el teorema fundamental de la aritmética. Por eso los primos son como los ladrillos con los que se construyen todos los demás números, y por eso el m.c.m. y el m.c.d. se calculan comparando esos ladrillos: qué primos tiene cada número y cuántas veces aparece cada uno.

Método de la descomposición en factores primos

Hacer listas funciona con números pequeños, pero con 252 y 198 sería eterno. El método que se enseña en el colegio, y el que usa la calculadora, es descomponer cada número en factores primos.

Paso 1: la tabla de cada número

Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y se divide entre el primo más pequeño posible: 2, 3, 5, 7, 11… El cociente se escribe debajo y se repite hasta llegar a 1. Los primos de la derecha son los factores.

Así, 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3². Si quieres practicar solo esta parte, usa la calculadora de factorización.

Paso 2: el m.c.d., comunes con el menor exponente

Se toman solo los primos que aparecen en todos los números, cada uno con el exponente más pequeño. El 2 está en los dos, con exponentes 2 y 1: se queda el 2¹. El 3 está en los dos, con exponentes 1 y 2: se queda el 3¹. m.c.d. = 2 × 3 = 6.

Paso 3: el m.c.m., todos con el mayor exponente

Se toman todos los primos que aparecen, comunes y no comunes, cada uno con el exponente más grande. El 2 con exponente 2 y el 3 con exponente 2. m.c.m. = 2² × 3² = 4 × 9 = 36.

La regla para recordarlo: m.c.d., comunes con menor exponente; m.c.m., comunes y no comunes con mayor exponente.

Ejemplos resueltos de m.c.m. y m.c.d.

252 y 198

252 = 2² × 3² × 7 y 198 = 2 × 3² × 11. Comunes: el 2 y el 3. m.c.d. = 2 × 3² = 18. Todos, con el mayor exponente: m.c.m. = 2² × 3² × 7 × 11 = 2772. Ver este ejemplo en la calculadora

Tres números: 60, 72 y 90

60 = 2² × 3 × 5, 72 = 2³ × 3² y 90 = 2 × 3² × 5. El 5 no está en el 72, así que no entra en el m.c.d.: m.c.d. = 2 × 3 = 6. En el m.c.m. sí entra: m.c.m. = 2³ × 3² × 5 = 360. Ver este ejemplo en la calculadora

Cuando uno es múltiplo del otro: 12 y 36

36 es múltiplo de 12 (36 = 12 × 3). En ese caso, el m.c.d. es el pequeño y el m.c.m. es el grande: m.c.d. = 12 y m.c.m. = 36. Lo mismo pasa con 16 y 48: 16 y 48. Ver este ejemplo en la calculadora

Números primos entre sí: 8 y 15

8 = 2³ y 15 = 3 × 5 no tienen ningún primo en común. Se dice que son primos entre sí: su m.c.d. es 1 y su m.c.m. es su producto, 8 × 15 = 120. Ver este ejemplo en la calculadora Ojo: ni 8 ni 15 son números primos; lo que pasa es que no comparten ninguno. Con dos primos distintos ocurre siempre: m.c.m.(7, 13) = 91.

Cuatro números: 2, 3, 4 y 5

El 4 = 2² aporta el 2 con exponente 2, y el 3 y el 5 aportan sus primos: m.c.m. = 2² × 3 × 5 = 60. No hay ningún primo común a los cuatro, así que m.c.d. = 1. Ver este ejemplo en la calculadora

Método de la tabla doble

En algunos colegios se hace una sola tabla con todos los números a la vez. Se dividen entre un primo que los divida a todos, hasta que ya no quede ninguno común:

Con 12 y 18: los dos se dividen entre 2 (quedan 6 y 9) y entre 3 (quedan 2 y 3). El 2 y el 3 ya no tienen divisores comunes. El m.c.d. es el producto de los primos de la derecha, 2 × 3 = 6, y el m.c.m. es ese m.c.d. por lo que ha quedado abajo: 6 × 2 × 3 = 36. Con dos números, el resultado es el mismo que con la descomposición. Con tres o más, para el m.c.m. hay que seguir dividiendo los números que aún se puedan, aunque no sea a todos a la vez; por eso es más seguro descomponer cada uno.

El algoritmo de Euclides

Es un método muy antiguo, que aparece en los Elementos de Euclides, para calcular el m.c.d. de dos números sin descomponerlos. Se usa sobre todo con números grandes, cuyos factores primos son difíciles de encontrar.

1. Divide el mayor entre el menor y quédate con el resto.
2. Divide el divisor anterior entre ese resto.
3. Repite hasta que el resto sea 0. El último divisor es el m.c.d..

252 y 198 con Euclides

• 252 ÷ 198 = 1, resto 54.
• 198 ÷ 54 = 3, resto 36.
• 54 ÷ 36 = 1, resto 18.
• 36 ÷ 18 = 2, resto 0. El m.c.d. es 18, igual que con los factores primos.

Ver este ejemplo en la calculadora

1071 y 462

Es el ejemplo clásico de los libros: 1071 = 462 × 2 + 147; 462 = 147 × 3 + 21; 147 = 21 × 7 + 0. El m.c.d. es 21, en solo tres divisiones. Ver este ejemplo en la calculadora Cada una de esas divisiones la puedes hacer paso a paso con la calculadora de divisiones.

La relación entre el m.c.m. y el m.c.d.

Con dos números, hay una relación muy útil: el producto de los dos números es igual al producto de su m.c.m. y su m.c.d.

• 12 × 18 = 216, y 6 × 36 = 216 ✓.
• 252 × 198 = 49 896, y 18 × 2772 = 49 896 ✓.

Así, si ya sabes el m.c.d. (por ejemplo, con Euclides), el m.c.m. sale con una división: m.c.m. = 12 × 18 ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36. Esta relación no funciona con tres números o más: con 60, 72 y 90, el producto es 388 800, pero 6 × 360 = 2160.

Criterios de divisibilidad

Para descomponer rápido, ayuda saber de un vistazo si un número se divide entre 2, 3, 5…:

• Entre 2: si termina en 0, 2, 4, 6 u 8. 198 sí; 15 no.
• Entre 3: si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 252: 2 + 5 + 2 = 9, sí.
• Entre 5: si termina en 0 o en 5. 90 sí; 72 no.
• Entre 7: se quita la última cifra, se resta su doble al resto, y se mira si da múltiplo de 7. 252: 25 − 4 = 21, sí.
• Entre 11: si la diferencia entre la suma de las cifras en posición par y en posición impar es 0 o múltiplo de 11. 198: (1 + 8) − 9 = 0, sí.

¿Cuándo se usa el m.c.m. y cuándo el m.c.d.?

En los problemas, lo difícil no es calcular sino saber cuál de los dos te piden. Una guía rápida:

• m.c.m.: cuando algo se repite cada cierto tiempo y quieres saber cuándo vuelven a coincidir. Palabras clave: «coinciden», «a la vez», «de nuevo juntos», «cada cuánto». El resultado es mayor que los datos.
• m.c.d.: cuando quieres repartir o cortar en partes iguales lo más grandes posible, sin que sobre nada. Palabras clave: «lo más grande posible», «el mayor número», «sin que sobre», «trozos iguales». El resultado es menor que los datos.

Problemas de m.c.m.

Los autobuses

Un autobús pasa cada 12 minutos y otro cada 18. Si acaban de salir juntos, ¿cuándo vuelven a coincidir? m.c.m.(12, 18) = 36 minutos. Ver este ejemplo en la calculadora

Los faros

Un faro se enciende cada 15 segundos y otro cada 20. Se han encendido a la vez: ¿cuánto falta para que vuelva a pasar? m.c.m.(15, 20) = 60 segundos, un minuto. Ver este ejemplo en la calculadora

Las visitas

Tres amigas van a la biblioteca: una cada 10 días, otra cada 15 y otra cada 25. Hoy han coincidido. ¿Cuándo vuelven a coincidir las tres? m.c.m.(10, 15, 25) = 150 días. Ver este ejemplo en la calculadora

Problemas de m.c.d.

Las cintas

Tenemos una cinta de 120 cm y otra de 150 cm, y queremos cortarlas en trozos iguales, lo más largos posible, sin que sobre nada. ¿Cuánto medirá cada trozo? m.c.d.(120, 150) = 30 cm. Saldrán 4 + 5 = 9 trozos. Ver este ejemplo en la calculadora

Las bolsas de caramelos

Con 48 caramelos de fresa y 60 de limón queremos hacer bolsas iguales, con el mayor número de caramelos de cada sabor y sin que sobre ninguno. m.c.d.(48, 60) = 12 bolsas, cada una con 4 de fresa y 5 de limón. Ver este ejemplo en la calculadora

Las baldosas

Un suelo mide 40 dm por 60 dm y queremos cubrirlo con baldosas cuadradas, lo más grandes posible, sin cortar ninguna. El lado será m.c.d.(40, 60) = 20 dm, y harán falta 2 × 3 = 6 baldosas. Ver este ejemplo en la calculadora

El m.c.m. y el m.c.d. en las fracciones

Los dos aparecen continuamente cuando trabajas con fracciones:

• El m.c.m. de los denominadores es el denominador común para sumar o restar. Para 1/12 + 1/18, el m.c.m. de 12 y 18 es 36: 3/36 + 2/36 = 5/36. Ver esta suma en la calculadora de fracciones.
• El m.c.d. del numerador y el denominador sirve para simplificar de una vez. Para 84/126, el m.c.d. es 42: 84 ÷ 42 = 2 y 126 ÷ 42 = 3, así que 84/126 = 2/3. Ver este ejemplo en la calculadora

Usar el m.c.m., y no simplemente multiplicar los denominadores, da números más pequeños y menos trabajo al simplificar: 12 × 18 = 216, mientras que el m.c.m. es 36.

Errores más comunes

• Confundir cuál es cuál. El m.c.m. es grande (mayor o igual que los números) y el m.c.d. pequeño (menor o igual). Si te sale al revés, los has cambiado.
• Mezclar los exponentes. El m.c.d. lleva el exponente menor y el m.c.m. el mayor.
• Olvidar los factores no comunes en el m.c.m. En 252 y 198, el 7 y el 11 tienen que entrar.
• Poner factores no comunes en el m.c.d. Un primo entra en el m.c.d. solo si está en todos los números.
• Dividir entre números que no son primos. Si divides entre 4 o entre 6 en la tabla, los factores no saldrán primos. Usa 2, 3, 5, 7, 11…
• Decir que el m.c.d. es 0 cuando no hay primos comunes. Es 1, porque el 1 divide a todos los números.

Ejercicios de m.c.m. y m.c.d. para practicar

Hazlos en el cuaderno y compruébalos después con la calculadora.

¿En qué curso se estudian el m.c.m. y el m.c.d.?

En España, los múltiplos y divisores suelen empezar en 5.º de primaria; los números primos y la descomposición en factores, en 5.º y 6.º; y el m.c.m. y el m.c.d., en 6.º de primaria y, sobre todo, en 1.º de la ESO, donde se usan con las fracciones. En otros países se llaman MCM y MCD, o «mínimo común múltiplo» y «máximo común divisor», y en inglés LCM y GCD. Cada colegio y cada libro lo organiza a su manera, así que tómalo como una orientación.

Si estás preparando un examen de este tema, te puede servir nuestra guía para preparar un examen de matemáticas.

Otras calculadoras Alicia

• Calculadora de factorización: la descomposición en primos, paso a paso.
• Calculadora de fracciones: usa el m.c.m. para sumar y restar.
• Calculadora de divisiones: para las divisiones de Euclides.
• Calculadora de potencias: para los exponentes de los factores.
• Calculadora Alicia: todas las calculadoras en un solo sitio.

Preguntas frecuentes sobre el m.c.m. y el m.c.d.

Última revisión: octubre de 2026.